حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $f' (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 3

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 5

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 18$ خارج التكامل.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

خطوة 7

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $8$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

خطوة 9.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

خطوة 9.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

خطوة 9.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 9.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

خطوة 9.2.3.2.4

اقسِم $4 x^{2}$ على $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

خطوة 10

الدالة $f'$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

خطوة 11

يمكن إيجاد الدالة $f (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 13

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 15

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 17

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 18

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

خطوة 19

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

خطوة 20.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

خطوة 20.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

خطوة 20.2

بسّط.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

خطوة 21

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

خطوة 22

الدالة $f$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$