حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\sin (x) = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 1.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 1.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.7

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $π n$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = π n$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{3}} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $\frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x$

خطوة 3.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احسِب قيمة $- \cos (x)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0)$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (0)$

خطوة 3.4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{1}{2} + 1$

خطوة 3.4.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 3.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

خطوة 3.4.2.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4