حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

خطوة 1

اكتب $y = 5 e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 e^{- x}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f (x)$ متصلة على $[0, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 5 e^{- x} d x)$

خطوة 6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 7.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

خطوة 7.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u_{upper} = - 2$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 11.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \frac{1}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

خطوة 12.3

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

خطوة 12.4

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} + 5)$

خطوة 12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

خطوة 13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

خطوة 13.2

أضف $2$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 5$

خطوة 14.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{e^{2}}$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 5$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{5}{2}$

خطوة 15