حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${t | t \in ℝ}$

خطوة 2

$f (t)$ متصلة على $[0, 7]$ .

$f (t)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - t^{2}$ . إذن $d u = - 2 t d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 t)$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 t$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = - 0$

خطوة 5.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

خطوة 5.5.2

اضرب $- 1$ في $49$ .

$u_{upper} = - 49$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 49$ وفي $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

خطوة 10.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.3

اضرب $\frac{1}{e^{49}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.4

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

خطوة 11.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

خطوة 11.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

خطوة 12.2

أضف $7$ و $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

خطوة 13

طبّق خاصية التوزيع.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 14

اضرب $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 14.2

اضرب $2$ في $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 15

اضرب $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

خطوة 15.2

اضرب $7$ في $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

خطوة 16