حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 1

اكتب $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

خطوة 2.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 2.1.1.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اضرب $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.1.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 2.1.1.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x$

خطوة 2.1.1.3.4.2

اجمع $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

خطوة 2.1.1.3.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

خطوة 2.1.1.3.4.3.2

اقسِم $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ على $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

خطوة 2.1.1.3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

اجمع $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.3.4.3

اجمع $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.7.2.2.4

اقسِم $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ على $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

خطوة 2.1.2.9

اضرب $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ في $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ من $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ من $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب في $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1 = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ من $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

خطوة 2.2.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

خطوة 2.2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + x = 0$

خطوة 2.2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.2.6

عيّن قيمة العبارة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

عيّن قيمة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - x = 0$

خطوة 2.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

خطوة 2.2.6.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.2.6.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

خطوة 2.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = - {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.4

اقسِم $16$ على $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.7

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

خطوة 5.2.1.9

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

خطوة 5.2.1.10

اقسِم $16$ على $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

خطوة 5.2.1.11

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

خطوة 5.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أضف $- 16$ و $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

خطوة 5.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{15}{e^{8}}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 1)$ لأن $f'' (- 4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $0$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.1.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{0}{2}}$

خطوة 6.2.1.9

اقسِم $0$ على $2$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- 0}$

خطوة 6.2.1.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{0}$

خطوة 6.2.1.11

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f'' (0) = 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 1, 1)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = - {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.4

اقسِم $16$ على $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.7

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.1.9

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

خطوة 7.2.1.10

اقسِم $16$ على $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

خطوة 7.2.1.11

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

خطوة 7.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

خطوة 7.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

أضف $- 16$ و $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

خطوة 7.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (4) = - \frac{15}{e^{8}}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 9