حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $\cos (x) + \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.4

افصِل الكسور.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 2.5.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 2.5.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

خطوة 2.5.2.8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 2.5.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 2.5.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.11

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 2.5.2.12

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.12.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 2.5.2.12.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.5.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.5.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.5.2.14

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.14.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 2.5.2.14.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.14.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.14.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.14.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.5.2.14.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.14.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 2.5.2.14.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.14.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.15

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $e^{x} \sin (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.3

اجمع $e^{\frac{3 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{7 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{7 π}{4}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.2.2.3

اجمع $e^{\frac{7 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{11 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{11 π}{4}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.3.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.3.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.4

اجمع $e^{\frac{11 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.4

احسِب القيمة في $x = \frac{15 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{15 π}{4}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

خطوة 4.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.4.2.2

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.4.2.4

اجمع $e^{\frac{15 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.5

احسِب القيمة في $x = \frac{19 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{19 π}{4}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

خطوة 4.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.5.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.5.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.5.2.4

اجمع $e^{\frac{19 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.6

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

خطوة 5