حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - \ln (2 x)$

خطوة 1

اكتب $y = 2 x - \ln (2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \ln (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

خطوة 2.1.3.6

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $2$ .

$2 - \frac{2}{2 x}$

خطوة 2.1.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 - \frac{2}{2 x}$

خطوة 2.1.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 - \frac{1}{x}$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.6

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2.8

أضف $x^{- 2}$ و $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{- 2} + 0$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $\frac{1}{x^{2}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم يمكن أن تجعل المشتق الثاني مساويًا لـ $0$ .

لا توجد نقاط انقلاب