حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(x + 5)}^{2}$ بالصيغة $(x + 5) (x + 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x ((x + 5) (x + 5)))$

خطوة 1.1.2

وسّع $(x + 5) (x + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $5$ في $5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

خطوة 1.1.3.2

أضف $5 x$ و $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 10 x + 25))$

خطوة 1.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x (x^{2} + 10 x + 25)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 10 x + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.5

اضرب $10$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.6

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.7

أضف $2 x + 10$ و $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.6.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1)$

خطوة 1.1.6.9

اضرب $x^{2} + 10 x + 25$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25)$

خطوة 1.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25)$

خطوة 1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.5

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.6

انقُل $10$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (10 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.7

اضرب $10$ في $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 30 x + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.8

أضف $6 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.9

اضرب $10$ في $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 30 x + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.10

أضف $30 x$ و $30 x$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 3 \cdot 25$

خطوة 1.1.7.3.11

اضرب $3$ في $25$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 75$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 60 x + 75$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $60 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $60$ في $1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $75$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $75$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $18 x + 60$ و $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $18 x + 60$ .

$18 x + 60$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $18 x + 60 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$18 x + 60 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $60$ من كلا المتعادلين.

$18 x = - 60$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $18 x = - 60$ على $18$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $18 x = - 60$ على $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 60}{18}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 60$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $- 60$ .

$x = \frac{6 (- 10)}{18}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 10}{3}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{10}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- \frac{10}{3}$ في $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{10}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (- \frac{10}{3}) {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{10}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 5 \cdot 3}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $5$ في $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 15}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.5.2

أضف $- 10$ و $15$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{5}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{5^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.7

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{25}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 (\frac{25}{9})$

خطوة 3.1.2.9

اضرب $- 10 (\frac{25}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.9.1

اجمع $- 10$ و $\frac{25}{9}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 10 \cdot 25}{9}$

خطوة 3.1.2.9.2

اضرب $- 10$ في $25$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 250}{9}$

خطوة 3.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{250}{9}$

خطوة 3.1.2.11

الإجابة النهائية هي $- \frac{250}{9}$ .

$- \frac{250}{9}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{10}{3}$ في $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ هي $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{10}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.4\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (- 3.4\overline{3}) = 18 (- 3.4\overline{3}) + 60$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $18$ في $- 3.4\overline{3}$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 61.8 + 60$

خطوة 5.2.2

أضف $- 61.8$ و $60$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 1.8$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.8$ .

$- 1.8$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 3.4\overline{3}$ يساوي $- 1.8$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{10}{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{10}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{10}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.2\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 18 (- 3.2\overline{3}) + 60$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $18$ في $- 3.2\overline{3}$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = - 58.2 + 60$

خطوة 6.2.2

أضف $- 58.2$ و $60$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 1.7\overline{9}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1.7\overline{9}$ .

$1.7\overline{9}$

خطوة 6.3

في $- 3.2\overline{3}$ ، المشتق الثاني هو $1.7\overline{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{10}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{10}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ .

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

خطوة 8