حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{t} e^{- t}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = t^{\frac{1}{2}} e^{- t}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} e^{- t})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = e^{- t}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- t$ .

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$t^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- t}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- t}$ بالصيغة $- e^{- t}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 4.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 4.10

اجمع $e^{- t}$ و $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + \frac{e^{- t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 4.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$