حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s = t^{4} \tan (t) - \sqrt{t}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $s$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $s'$ .

$s'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = \tan (t)$ .

$t^{4} \frac{d}{d t} [\tan (t)] + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.2

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 4.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 4.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 4.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 4.3.9

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$s' = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $s'$ بـ $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$