حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (z^{2} + e^{z}) \sqrt{z}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{z}$ في صورة $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [(z^{2} + e^{z}) z^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z^{2} + e^{z}$ و $g (z) = z^{\frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{d}{d z} [z^{\frac{1}{2}}] + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{- 1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{- \frac{1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 8.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $z^{- \frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{z^{- \frac{1}{2}}}{2} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 8.2.2

انقُل $z^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{2} + e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ هو $a^{z} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $z^{2}$ و $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.2

انقُل $z^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{z^{2} z^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3

اضرب $z^{2}$ في $z^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{z^{2 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{z^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.3.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.4

اجمع $e^{z}$ و $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5

اضرب $z^{\frac{1}{2}}$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.5.1

انقُل $z$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z \cdot z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5.2

اضرب $z$ في $z^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.5.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1} z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.5.5

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot z^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.7

لكتابة $2 z^{\frac{3}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.8

اجمع $2 z^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.10

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 4 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.3.11

أضف $z^{\frac{3}{2}}$ و $4 z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{z} z^{\frac{1}{2}} + \frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}}$