حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.2.6

اضرب $5$ في $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ و $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

خطوة 2.2

بسّط $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2.3

اضرب $6$ في $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.1

اضرب $4$ في $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.4.2

اضرب $6$ في $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.4.3

اضرب $4$ في $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

خطوة 2.2.1.4.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

خطوة 2.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح $5$ من $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

خطوة 2.2.2.2

أضف $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ و $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

خطوة 2.3

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = - 2, 0$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أضف $- 2$ و $1$ .

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

خطوة 4.1.2.1.3

اضرب $- 5$ في $- 2$ .

$- 1 + 10 - 2$

خطوة 4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $- 1$ و $10$ .

$9 - 2$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $2$ من $9$ .

$7$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

خطوة 4.2.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب $- 5$ في $0$ .

$1 + 0 - 2$

خطوة 4.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$1 - 2$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 2, 7), (0, - 1)$

خطوة 5