حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} + e^{- x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 1.1.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

خطوة 2.2

انقُل $- e^{- x}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

خطوة 2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $\ln (2 e^{2 x})$ بالصيغة $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 2.4.2

وسّع $\ln (e^{2 x})$ بنقل $2 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

خطوة 2.4.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

خطوة 2.5

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $\ln (e^{- x})$ بنقل $- x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

خطوة 2.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

خطوة 2.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

خطوة 2.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $2 x$ و $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

خطوة 2.7

اطرح $\ln (2)$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - \ln (2)$

خطوة 2.8

اقسِم كل حد في $3 x = - \ln (2)$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اقسِم كل حد في $3 x = - \ln (2)$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

خطوة 2.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

خطوة 2.8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

خطوة 2.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $e^{2 x} + e^{- x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{\ln (2)}{3}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (2)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (2)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.3.2

بسّط $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.6

اضرب الأُسس في ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.7

اضرب الأُسس في ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

خطوة 4.1.2.9

أعِد كتابة $\frac{\ln (2)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

خطوة 4.1.2.10

بسّط $\frac{1}{3} \ln (2)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 4.1.2.11

اضرب $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 4.1.2.11.2

اضرب $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 4.1.2.12

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

خطوة 5