حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

خطوة 2

مشتق $P$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $P'$ .

$P'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{10}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ بالصيغة ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

خطوة 3.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 e^{- \frac{t}{10}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

خطوة 3.3.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $- \frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{t}{10}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 3.5.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اجمع $e^{- \frac{t}{10}}$ و $\frac{1}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ و $5$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.4

اجمع $\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ و ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

انقُل $5$ إلى يسار $e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.5.2

انقُل ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

خطوة 3.5.4

اضرب $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ في $1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $P'$ بـ $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$