حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 10 (\sqrt{1 + t^{4}} - 1)$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + t^{4}}$ في صورة ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1))$

خطوة 3

مشتق $x$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$10 (\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 1 + t^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$10 (\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.12.2

اجمع $\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ و $t^{3}$ .

$10 (\frac{4 t^{3}}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.12.3

أخرِج العامل $2$ من $4 t^{3}$ .

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + 0)$

خطوة 4.15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

أضف $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$10 \frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15.2

اجمع $10$ و $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.1

اضرب $2$ في $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$