حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = e^{- x} + 1$ و $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 3.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.7

أضف $e^{- x} (- x')$ و $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.8

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.8.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.8.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.9

بسّط $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

خطوة 3.10.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

خطوة 3.10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1.1

اضرب $e^{- x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1.1.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.1.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.2

بسّط $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x'$ بالصيغة $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.1.5

أعِد كتابة $- 1 (e^{x} x')$ بالصيغة $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.3.2

اطرح $x'$ من $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.5

أخرِج العامل $x'$ من $- e^{x} x' - 2 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.5.1

أخرِج العامل $x'$ من $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.5.2

أخرِج العامل $x'$ من $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.5.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.7

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.9

أعِد كتابة $- (e^{x} + 2)$ بالصيغة $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.12.11

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

اقسِم $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ على $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

خطوة 5.3

اضرب كلا الطرفين في $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

خطوة 5.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

خطوة 5.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

خطوة 5.4.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $x'$ من $x' e^{x} + 2 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $x'$ من $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $x'$ من $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ على $e^{x} + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ على $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$