حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f' (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $f (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

خطوة 2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 8 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 8 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 3.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 4.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 8.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 8.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sqrt{u} d u$

خطوة 8.1.3

اضرب $\int \sqrt{u} d u$ في $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

خطوة 8.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11

الدالة $f$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$