حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{2 x + 3}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$

خطوة 2

أعِد كتابة ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ بالصيغة $2 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x + 3}$ في صورة ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = 2 x + 3$

خطوة 2.5

بسّط.

$V = 2 x + 3$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$V = π (2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{1})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $3 x$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.5

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.6

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (1 + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.8

اضرب $3$ في $1$ .

$V = π (1 + 3 - 3 \cdot 0)$

خطوة 8.3.9

اضرب $- 3$ في $0$ .

$V = π (1 + 3 + 0)$

خطوة 8.3.10

أضف $3$ و $0$ .

$V = π (1 + 3)$

خطوة 8.3.11

أضف $1$ و $3$ .

$V = π \cdot 4$

خطوة 8.3.12

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$V = 4 π$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = 4 π$

الصيغة العشرية:

$V = 12.56637061 \dots$

خطوة 10