حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\ln (x + 1)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

خطوة 1.3.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

خطوة 1.3.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

خطوة 1.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

خطوة 3.5.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

خطوة 3.9

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

خطوة 3.10

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} 3 (x + 1)$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x + 1$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x + 1)$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 (0 + 1)$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $0$ و $1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3$