حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 1.1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 1.1.4.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

خطوة 1.1.4.2.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

خطوة 1.1.4.2.3

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

خطوة 1.1.4.3

أعِد ترتيب $\cos^{2} (x)$ و $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

خطوة 1.1.4.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

خطوة 1.1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.1.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.1.4.7

أعِد كتابة $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ بالصيغة $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.1.4.8

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

خطوة 1.1.4.9

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.9.1

انقُل $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

خطوة 1.1.4.9.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.9.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

خطوة 1.1.4.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

خطوة 1.1.4.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

خطوة 1.1.4.10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $\sin^{3} (x)$ على $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.4

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\sin (x) = 0$

خطوة 2.5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 2.6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.7

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 2.8

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 2.9

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.9.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.9.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.10

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.11

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $π n$ .

$π n$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ هو $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π n - 1$ في العبارة.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

خطوة 5.2

الإجابة النهائية هي $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

خطوة 5.3

بسّط.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

خطوة 5.4

المشتق في $x = π n - 1$ هو $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π n + 1$ في العبارة.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = π n + 1$ هو $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(π n, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

خطوة 8