حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $x e^{x}$ من $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.5.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.5.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x e^{x} (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 2$ .

$0, - 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $9$ و $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

خطوة 5.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

خطوة 5.2.1.6

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

خطوة 5.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $6$ من $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $\frac{3}{e^{3}}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $e^{- 1}$ في $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

خطوة 6.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{1}{e}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 0)$ .

تناقص خلال $(- 2, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $e^{1}$ في $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

خطوة 7.2.1.3

بسّط.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

خطوة 7.2.2

أضف $e$ و $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $3 e$ .

$3 e$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $3 e$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2, 0)$

خطوة 9