حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1 d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

خطوة 4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arctan (x) + C - \int e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

خطوة 8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + \int d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + x + C$

خطوة 11

بسّط.

$\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$