حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{4} + 1)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{4} + 1)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + 0)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3})$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 1} \cdot x^{3}$

خطوة 2.1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 1}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 1})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 1) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.4

اضرب $x^{3}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.4.3

أضف $3$ و $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.5

اجمع $4$ و $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (1 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.1.3

أضف $2$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.4

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.5

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.2

اطرح $16 x^{6}$ من $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.5

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $- 4 x^{6} + 12 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.5.1

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $- 4 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.5.2

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.5.3

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.7

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.9

أعِد كتابة $- (x^{4} - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.3.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.3.2.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{4} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{4} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{4} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{4} = 3$

خطوة 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

خطوة 3.3.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt[4]{3}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt[4]{3}$

خطوة 3.3.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 1)$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \ln (0 + 1)$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

خطوة 4.1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\sqrt[4]{3}$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt[4]{3}$ في العبارة.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(\sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

خطوة 4.3.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

خطوة 4.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

خطوة 4.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

خطوة 4.3.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

خطوة 4.3.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt[4]{3}$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ هي $(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- \sqrt[4]{3}$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt[4]{3}$ في العبارة.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- \sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt[4]{3}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- 1)}^{4} {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (1 {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.3

اضرب ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ في $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

خطوة 4.5.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

خطوة 4.5.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt[4]{3}$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ هي $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt[4]{3}, \ln (4)), (- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt[4]{3}) \cup (- \sqrt[4]{3}, 0) \cup (0, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.41607401$ في العبارة.

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{(4 {(- 1.41607401)}^{2}) ({(- 1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.41607401$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} (4.02109016 - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $3$ من $4.02109016$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} \cdot 1.02109016}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

اضرب $1.02109016$ في $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4.08436066 {(- 1.41607401)}^{2}}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.2

اضرب $4.08436066$ في ${(- 1.41607401)}^{2}$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.41607401$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $4.02109016$ و $1$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $5.02109016$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $8.19022798$ على $25.21134646$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.32486277$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 0.32486277$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.41607401$ يساوي $- 0.32486277$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.658037$ في العبارة.

$f'' (- 0.658037) = - \frac{(4 {(- 0.658037)}^{2}) ({(- 0.658037)}^{4} - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 0.658037$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} (0.1875 - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $3$ من $0.1875$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} \cdot - 2.8125}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.3.1

اضرب $- 2.8125$ في $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 11.25 {(- 0.658037)}^{2}}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3.2

اضرب $- 11.25$ في ${(- 0.658037)}^{2}$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 0.658037$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0.1875$ و $1$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $1.1875$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $- 4.87139289$ على $1.41015625$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 3.45450576$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $3.45450576$ .

$3.45450576$

خطوة 7.3

في $- 0.658037$ ، المشتق الثاني هو $3.45450576$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ .

تزايد خلال $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt[4]{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.658037$ في العبارة.

$f'' (0.658037) = - \frac{(4 {(0.658037)}^{2}) ({(0.658037)}^{4} - 3)}{{({(0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.658037$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot ({0.658037}^{2} (0.1875 - 3))}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اطرح $3$ من $0.1875$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot {0.658037}^{2} \cdot - 2.8125}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.3.1

اضرب $- 2.8125$ في $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 11.25 \cdot {0.658037}^{2}}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3.2

اضرب $- 11.25$ في ${0.658037}^{2}$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $0.658037$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0.1875$ و $1$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $1.1875$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اقسِم $- 4.87139289$ على $1.41015625$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 3.45450576$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $3.45450576$ .

$3.45450576$

خطوة 8.3

في $0.658037$ ، المشتق الثاني هو $3.45450576$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \sqrt[4]{3})$ .

تزايد خلال $(0, \sqrt[4]{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.41607401$ في العبارة.

$f'' (1.41607401) = - \frac{(4 {(1.41607401)}^{2}) ({(1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $1.41607401$ إلى القوة $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot ({1.41607401}^{2} (4.02109016 - 3))}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اطرح $3$ من $4.02109016$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot {1.41607401}^{2} \cdot 1.02109016}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.3.1

اضرب $1.02109016$ في $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4.08436066 \cdot {1.41607401}^{2}}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3.2

اضرب $4.08436066$ في ${1.41607401}^{2}$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $1.41607401$ إلى القوة $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $4.02109016$ و $1$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $5.02109016$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اقسِم $8.19022798$ على $25.21134646$ .

$f'' (1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.32486277$ .

$f'' (1.41607401) = - 0.32486277$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

خطوة 9.3

المشتق الثاني عند $1.41607401$ يساوي $- 0.32486277$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt[4]{3}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ .

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

خطوة 11