حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x - 1)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + 0)$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(x - 1)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3})$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)$

خطوة 1.2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} \cdot 1$

خطوة 1.2.3.5.2

اضرب $12$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 {(x - 1)}^{2}$ .

$12 {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 {(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ على $12$ .

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم ${(x - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {((1) - 1)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1) = 0^{4}$

خطوة 3.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (1) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ هي $(1, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, 0)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.9$ في العبارة.

$f'' (0.9) = 12 {((0.9) - 1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 5.2.2

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.9) = 12 \cdot 0.01$

خطوة 5.2.3

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (0.9) = 0.12$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $0.12$ .

$0.12$

خطوة 5.3

في $0.9$ ، المشتق الثاني هو $0.12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = 12 {((1.1) - 1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot {0.1}^{2}$

خطوة 6.2.2

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 0.01$

خطوة 6.2.3

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (1.1) = 0.12$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.12$ .

$0.12$

خطوة 6.3

في $1.1$ ، المشتق الثاني هو $0.12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. لا توجد نقاط على الرسم البياني تستوفي هذه المتطلبات.

لا توجد نقاط انقلاب