حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

خطوة 1.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $e^{x} (4 x^{3})$ و $4 x^{3} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.2.2

أضف $4 x^{3} e^{x}$ و $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

خطوة 1.2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $x^{2} e^{x}$ من $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} + 8 x + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $8$ .

$2, 6$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.5.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.5.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 2.7.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2, - 6$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 e^{0}$

خطوة 3.1.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $0$ في $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $16$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

خطوة 3.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ هي $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- 6$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

خطوة 3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $1296$ و $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

خطوة 3.5.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 6$ في $f (x) = x^{4} e^{x}$ هي $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6.1$ في العبارة.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $1384.5841$ و $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.4

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.6

اقسِم $1384.5841$ على $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.7

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.8

اضرب $8$ في $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.10

اجمع $- 1815.848$ و $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.12

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.13

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.14

اقسِم $1815.848$ على $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.15

اضرب $- 1$ في $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.16

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

خطوة 5.2.1.17

اضرب $12$ في $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

خطوة 5.2.1.18

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

خطوة 5.2.1.19

اجمع $446.52$ و $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

خطوة 5.2.1.20

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

خطوة 5.2.1.21

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

خطوة 5.2.1.22

اقسِم $446.52$ على $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $4.07270686$ من $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 0.96726787$ و $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $0.03421741$ .

$0.03421741$

خطوة 5.3

في $- 6.1$ ، المشتق الثاني هو $0.03421741$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 6)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 6)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $256$ و $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $8$ في $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.7

اجمع $- 512$ و $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.9

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

خطوة 6.2.1.10

اضرب $12$ في $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

خطوة 6.2.1.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

خطوة 6.2.1.12

اجمع $192$ و $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اطرح $512$ من $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

خطوة 6.2.2.2.2

أضف $- 256$ و $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

خطوة 6.2.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 4$ يساوي $- 1.17220088$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 6, - 2)$

تناقص خلال $(- 6, - 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $e^{- 1}$ في $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.7

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $12$ في $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

خطوة 7.2.1.12

اجمع $12$ و $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

خطوة 7.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

اطرح $8$ من $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

خطوة 7.2.2.2.2

أضف $- 7$ و $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

خطوة 7.3

في $- 1$ ، المشتق الثاني هو $1.8393972$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 2, 0)$ .

تزايد خلال $(- 2, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $0.0001$ في $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $8$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $0.008$ في $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.6

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

خطوة 8.2.1.7

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

خطوة 8.2.1.8

اضرب $0.12$ في $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

خطوة 8.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $0.00011051$ و $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0.00895188$ و $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.14157239$ .

$0.14157239$

خطوة 8.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.14157239$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

خطوة 10