حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $\frac{3}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.8

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.9

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.10

اضرب $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.11

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.11.2

اضرب $5$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.12

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.13.1

أخرِج العامل $3$ من $15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.1.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 2.1.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 2.1.16

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 2.1.17

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.17.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

خطوة 2.1.17.2

اجمع $2$ و $\frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

خطوة 2.1.17.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

خطوة 2.1.17.4

اجمع $\frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.3.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.3.3

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.8.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.9.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.9.3

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.9.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.13.3

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.13.4

اجمع $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.17

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.19

لكتابة ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.20

اجمع ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.22

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.22.1

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.22.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.22.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.22.4

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.22.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.23

بسّط ${(x^{2} - 1)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.24

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.25

أعِد كتابة $\frac{\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 2.2.26

اضرب $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.27

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.27.1

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 2.2.27.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.27.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

خطوة 2.2.27.4

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.28

اضرب $\frac{4}{5}$ في $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{5 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 2.2.29

اضرب $3$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.30.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.30.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.30.3.1.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.3.1.2

اضرب $4 (3 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.30.3.1.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 3 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.3.1.2.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.3.1.3

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 - 8 x^{2}}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.3.2

اطرح $8 x^{2}$ من $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.4

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.30.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.30.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} + 4 \cdot - 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $4 (x^{2} - 3) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 (x^{2} - 3) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{2} - 3$ على $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{3}$ في العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(\sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اطرح $1$ من $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.2.2

اجمع $\frac{3}{5}$ و $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ هي $(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- \sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(1 {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.3

اضرب ${\sqrt{3}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اطرح $1$ من $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3.2.2.2

اجمع $\frac{3}{5}$ و $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ هي $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.8320508$ في العبارة.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $3$ من $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $1$ من $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $2.35641016$ إلى القوة $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $4$ في $0.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $15$ في $3.13570007$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

خطوة 6.2.3.3

اقسِم $1.42564064$ على $47.03550106$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.03030988$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.03030988$ .

$0.03030988$

خطوة 6.3

في $- 1.8320508$ ، المشتق الثاني هو $0.03030988$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} - 3)}{15 {({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{4 (0 - 3)}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

خطوة 7.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

خطوة 7.2.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{4}}$

خطوة 7.2.2.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 \cdot 1}$

خطوة 7.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $4$ في $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15 \cdot 1}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $15$ في $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15}$

خطوة 7.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 4)}{15}$

خطوة 7.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

خطوة 7.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

خطوة 7.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 4}{5}$

خطوة 7.2.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = - \frac{4}{5}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{4}{5}$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 0.8$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.8320508$ في العبارة.

$f'' (1.8320508) = \frac{4 ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.1.2

اطرح $3$ من $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $1$ من $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $2.35641016$ إلى القوة $\frac{4}{3}$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $4$ في $0.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $15$ في $3.13570007$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

خطوة 8.2.3.3

اقسِم $1.42564064$ على $47.03550106$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03030988$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $0.03030988$ .

$0.03030988$

خطوة 8.3

في $1.8320508$ ، المشتق الثاني هو $0.03030988$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ .

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

خطوة 10