حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x + 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x + 5}$ بالصيغة ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 5$ .

$- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- {(x + 5)}^{- 2}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 5)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{1}{x + 5}$ هو $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f' (- 6) = - \frac{1}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 6$ و $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 6) = - \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 6) = - 1 \cdot 1$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (- 6) = - 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 6$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 5)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $- 4$ و $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- 4) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 4) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 4) = - 1 \cdot 1$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (- 4) = - 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 4$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 5, \infty)$ .

تناقص خلال $(- 5, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

خطوة 9