حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.6

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.8

اضرب $i^{2}$ في $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.10.5

احسِب قيمة الأُس.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.11

اضرب $3 (- 1 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.11.2

اضرب $3$ في $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

خطوة 2.1.12

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.12.1

طبّق قاعدة الضرب على $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.12.2

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.13

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.14

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.15

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.16

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.17

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.18

اضرب $i$ في $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

خطوة 2.1.19

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

خطوة 2.1.20

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

خطوة 2.1.21

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.21.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

خطوة 2.1.21.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.1.22

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

خطوة 2.1.23

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $9$ من $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

خطوة 2.2.2

أضف $- 3 i \sqrt{3}$ و $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

خطوة 2.2.3

اطرح $8$ من $0$ .

$- 8$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 8$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

خطوة 6.3

أضف $0$ و $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 8$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{0}{- 8}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $π$ .

$θ = π$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = π$ و $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$