حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \sqrt[3]{x}$

خطوة 2

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

خطوة 5.2.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

خطوة 5.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

خطوة 5.2.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

خطوة 5.2.2.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

خطوة 5.2.2.7

اضرب $3$ في $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

خطوة 5.2.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.8.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

خطوة 5.2.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.8.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

خطوة 5.2.2.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

خطوة 5.2.2.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

خطوة 5.2.2.10

أضف $\frac{3}{5}$ و $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

خطوة 5.2.2.11

اجمع $π$ و $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

خطوة 5.2.2.12

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{3 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$V = 1.88495559 \dots$

خطوة 7