حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ و $g (x) = 9 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} u^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.5.2

اطرح $5$ من $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.6.2

اجمع $\frac{3}{5}$ و ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{3 {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.6.3

انقُل ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

خطوة 1.1.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

خطوة 1.1.8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

خطوة 1.1.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

خطوة 1.1.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 1.1.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- (2 x))$

خطوة 1.1.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- 2 x)$

خطوة 1.1.12.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

خطوة 1.1.12.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

خطوة 1.1.12.4

اجمع $\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

خطوة 1.1.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$6 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 x = 0$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 0$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $6$ .

$x = 0$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$

خطوة 3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ارفع كلا المتعادلين إلى القوة $5$ .

${(5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}})}^{5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}$ في صورة ${(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

بسّط ${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$3125 {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0^{5}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$3125 {(3^{2} - x^{2})}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x$ .

$3125 {((3 + x) (3 - x))}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $(3 + x) (3 - x)$ .

$3125 ({(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2}) = 0$

خطوة 3.3.3.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

${(3 - x)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.3

عيّن قيمة العبارة ${(3 + x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

عيّن قيمة ${(3 + x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(3 + x)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.2.1

عيّن قيمة $3 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 + x = 0$

خطوة 3.3.3.3.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.3.3.4

عيّن قيمة العبارة ${(3 - x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.1

عيّن قيمة ${(3 - x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(3 - x)}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(3 - x)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.2.1

عيّن قيمة $3 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - x = 0$

خطوة 3.3.3.4.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.2.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 3$

خطوة 3.3.3.4.2.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.2.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x = 3$

خطوة 3.3.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 3, 3$

خطوة 3.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 3, x = 3$

خطوة 4

احسِب قيمة ${(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(9 - 0)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

${(9 + 0)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.1.2.2

أضف $9$ و $0$ .

$9^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

${(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اطرح $9$ من $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.2.2.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

خطوة 4.2.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

خطوة 4.2.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$0^{3}$

خطوة 4.2.2.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

${(9 - {(3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.3.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اطرح $9$ من $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

خطوة 4.3.2.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

خطوة 4.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

خطوة 4.3.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 9^{\frac{3}{5}}), (- 3, 0), (3, 0)$

خطوة 5