حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{8}{7}}$ , $y = 6 x^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{\frac{8}{7}} = 6 x^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = 0, 6$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 6 \cdot 0^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.3.2.3

بسّط $6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{7}$ .

$y = 6 {(0^{7})}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.3.2.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

خطوة 1.3.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

خطوة 1.3.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 6 \cdot 0^{1}$

خطوة 1.3.2.3.3

احسِب قيمة الأُس.

$y = 6 \cdot 0$

خطوة 1.3.2.3.4

اضرب $6$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ .

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $6$ عن $x$ في $y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 6 \cdot 6^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2.3

اضرب $6$ في ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

اضرب $6$ في ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $1$ .

$y = 6^{1} {(6)}^{\frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 6^{1 + \frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = 6^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}}$

خطوة 1.4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 6^{\frac{7 + 1}{7}}$

خطوة 1.4.2.3.4

أضف $7$ و $1$ .

$y = 6^{\frac{8}{7}}$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - (x^{\frac{8}{7}}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{6} x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{7}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{7}{8}$ و $x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{8}{7}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}]_{0}^{6})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $\frac{7}{15}$ و $x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

خطوة 3.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}$ في $6$ وفي $0$ .

$6 ((\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}) - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

خطوة 3.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}$ في $6$ وفي $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{7}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.5

اضرب $7$ في $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.6.1

أخرِج العامل $8$ من $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 (0)}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} + 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.8

أضف $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ و $0$ .

$6 \frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.9

اجمع $6$ و $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ .

$\frac{6 (7 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.10

اضرب $7$ في $6$ .

$\frac{42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.11

أخرِج العامل $2$ من $42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 (4)} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 \cdot 4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.13

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{7}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{15}{7}}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.14

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{15}}{15})$

خطوة 3.9.2.3.16

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0}{15})$

خطوة 3.9.2.3.17

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{15})$

خطوة 3.9.2.3.18

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.18.1

أخرِج العامل $15$ من $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 (0)}{15})$

خطوة 3.9.2.3.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.18.2.1

أخرِج العامل $15$ من $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{1})$

خطوة 3.9.2.3.18.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - 0)$

خطوة 3.9.2.3.19

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} + 0)$

خطوة 3.9.2.3.20

أضف $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ و $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

خطوة 3.9.2.3.21

لكتابة $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

خطوة 3.9.2.3.22

لكتابة $- \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.9.2.3.23

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $60$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.23.1

اضرب $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ في $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.9.2.3.23.2

اضرب $4$ في $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.9.2.3.23.3

اضرب $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{15 \cdot 4}$

خطوة 3.9.2.3.23.4

اضرب $15$ في $4$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

خطوة 3.9.2.3.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15 - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

خطوة 3.9.2.3.25

اضرب $15$ في $21$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

خطوة 3.9.2.3.26

اضرب $4$ في $- 7$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 28 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{60}$

خطوة 4