حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

خطوة 1.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x \ln (x) + x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

خطوة 2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 x \ln (x) = - x$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 3.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{2} \ln (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.2.2

بسّط.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.1.2.3

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 4.1.2.4

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

خطوة 4.1.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

خطوة 4.2.2

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

خطوة 5