حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 37$ , $y = 11 - 2 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 37 = 11 - 2 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 37 = 11 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 37 + 2 x = 11$

خطوة 1.2.2

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 37 + 2 x - 11 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $11$ من $- 37$ .

$x^{2} + 2 x - 48 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل $x^{2} + 2 x - 48$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 48$ ومجموعهما $2$ .

$- 6, 8 + y = 11 - 2 x$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 6) (x + 8) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0 + y = 11 - 2 x$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 6) (x + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 6, - 8$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ .

$y = 11 - 2 \cdot 6$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $6$ عن $x$ في $y = 11 - 2 \cdot 6$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 11 - 2 \cdot 6$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $11 - 2 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$y = 11 - 12$

خطوة 1.3.2.2.2

اطرح $12$ من $11$ .

$y = - 1$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 8$ .

$y = 11 - 2 \cdot - 8$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $- 8$ عن $x$ في $y = 11 - 2 \cdot - 8$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 11 - 2 \cdot - 8$

خطوة 1.4.2.2

بسّط $11 - 2 \cdot - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اضرب $- 2$ في $- 8$ .

$y = 11 + 16$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $11$ و $16$ .

$y = 27$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(6, - 1)$

$(- 8, 27)$

$(6, - 1)$

$(- 8, 27)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $11$ و $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 11$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 8}^{6} - 2 x + 11 d x - \int_{- 8}^{6} x^{2} - 37 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 8$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 8}^{6} - 2 x + 11 - (x^{2} - 37) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x + 11 - x^{2} - - 37$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 37$ .

$- 2 x + 11 - x^{2} + 37$

$\int_{- 8}^{6} - 2 x + 11 - x^{2} + 37 d x$

خطوة 4.3

أضف $11$ و $37$ .

$\int_{- 8}^{6} - 2 x - x^{2} + 48 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 8}^{6} - 2 x d x + \int_{- 8}^{6} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{- 8}^{6} x d x + \int_{- 8}^{6} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 8}^{6}) + \int_{- 8}^{6} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{6}) + \int_{- 8}^{6} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{6}) - \int_{- 8}^{6} x^{2} d x + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{6}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 8}^{6}) + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{6}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{6}) + \int_{- 8}^{6} 48 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{6}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{6}) + 48 x]_{- 8}^{6}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $6$ وفي $- 8$ .

$- 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{6}) + 48 x]_{- 8}^{6}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $6$ وفي $- 8$ .

$- 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + 48 x]_{- 8}^{6}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $48 x$ في $6$ وفي $- 8$ .

$- 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$- 2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.2.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$- 2 (18 - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$- 2 (18 - \frac{64}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$- 2 (18 - \frac{2 \cdot 32}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 2 (18 - \frac{2 \cdot 32}{2 (1)}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (18 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (18 - \frac{32}{1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.4.2.4

اقسِم $32$ على $1$ .

$- 2 (18 - 1 \cdot 32) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.5

اضرب $- 1$ في $32$ .

$- 2 (18 - 32) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.6

اطرح $32$ من $18$ .

$- 2 \cdot - 14 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.7

اضرب $- 2$ في $- 14$ .

$28 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.8

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$28 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.9

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.9.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$28 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.9.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$28 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$28 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$28 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.9.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$28 - (72 - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.10

ارفع $- 8$ إلى القوة $3$ .

$28 - (72 - \frac{- 512}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$28 - (72 - - \frac{512}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$28 - (72 + 1 (\frac{512}{3})) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.13

اضرب $\frac{512}{3}$ في $1$ .

$28 - (72 + \frac{512}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.14

لكتابة $72$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$28 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{512}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.15

اجمع $72$ و $\frac{3}{3}$ .

$28 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{512}{3}) + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$28 - \frac{72 \cdot 3 + 512}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.17.1

اضرب $72$ في $3$ .

$28 - \frac{216 + 512}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.17.2

أضف $216$ و $512$ .

$28 - \frac{728}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.18

لكتابة $28$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{728}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.19

اجمع $28$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{728}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{28 \cdot 3 - 728}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.21.1

اضرب $28$ في $3$ .

$\frac{84 - 728}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.21.2

اطرح $728$ من $84$ .

$\frac{- 644}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{644}{3} + (48 \cdot 6) - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.23

اضرب $48$ في $6$ .

$- \frac{644}{3} + 288 - 48 \cdot - 8$

خطوة 4.12.4.24

اضرب $- 48$ في $- 8$ .

$- \frac{644}{3} + 288 + 384$

خطوة 4.12.4.25

أضف $288$ و $384$ .

$- \frac{644}{3} + 672$

خطوة 4.12.4.26

لكتابة $672$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{644}{3} + 672 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.12.4.27

اجمع $672$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{644}{3} + \frac{672 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.4.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 644 + 672 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.4.29

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.29.1

اضرب $672$ في $3$ .

$\frac{- 644 + 2016}{3}$

خطوة 4.12.4.29.2

أضف $- 644$ و $2016$ .

$\frac{1372}{3}$

خطوة 5