حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5} - x^{3} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 6 x}{x^{4}} d x$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $x$ من $6 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

خطوة 3.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x^{4}} d x$

خطوة 3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 6}{x^{3}} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3} d x$

خطوة 5

وسّع $(x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.4

اطرح $3$ من $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.5

بسّط.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.6

أخرِج السالب.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x - x^{2 - 3} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 5.8

اطرح $3$ من $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 6 x^{- 3} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

خطوة 9

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

خطوة 10

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 12.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 12.3.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

خطوة 12.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

خطوة 12.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

خطوة 12.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

خطوة 12.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

خطوة 12.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$