حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + x - 7$ ; $[0, 14]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 14]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} + x - 7 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} d x + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14}$ و $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

خطوة 9.1.2

اجمع $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ و $- 7 x]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x]_{0}^{14})$

خطوة 9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x$ في $14$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $14$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 2744 + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $14$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 196 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{196}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $196$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 (1)} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 \cdot 1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98}{1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.5.2.4

اقسِم $98$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.6

لكتابة $98$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 \cdot \frac{3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.7

اجمع $98$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.9.1

اضرب $98$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 294}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.9.2

أضف $2744$ و $294$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.10

اضرب $- 7$ في $14$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.11

لكتابة $- 98$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.12

اجمع $- 98$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} + \frac{- 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.14.1

اضرب $- 98$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 294}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.14.2

اطرح $294$ من $3038$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.15

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.16

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.17

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.18

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0 - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.19

أضف $0$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 - 7 \cdot 0))$

خطوة 9.2.2.20

اضرب $- 7$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0))$

خطوة 9.2.2.21

أضف $0$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - 0)$

خطوة 9.2.2.22

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 0)$

خطوة 9.2.2.23

أضف $\frac{2744}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3})$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 + 0} \cdot \frac{2744}{3}$

خطوة 10.2

أضف $14$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{2744}{3}$

خطوة 11

ألغِ العامل المشترك لـ $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $14$ من $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (196)}{3}$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 196}{3}$

خطوة 11.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{196}{3}$

خطوة 12