حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\ln (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $x^{\ln (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln (x^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

خطوة 3.2

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

خطوة 3.3

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3.8

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

خطوة 3.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

خطوة 3.9.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

خطوة 3.9.3

اجمع $e^{\ln^{2} (x)}$ و $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

خطوة 3.10.2

اضرب $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

أعِد ترتيب $\ln (x)$ و $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

خطوة 3.10.2.2

بسّط $2 \cdot \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

خطوة 3.10.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$