حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\ln (x)}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 - \ln (x) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (x) = - 1$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $- \ln (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- \ln (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

خطوة 3.3.3

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\ln (x) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{1}$ .

$x = e$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $e$ .

$e$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 5.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 5.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 5.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

خطوة 7

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, e)$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, e)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.35914085$ في العبارة.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $1.35914085$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

خطوة 8.2.2

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

خطوة 8.2.3

لوغاريتم $1.35914085$ للأساس $2.71828182$ يساوي $0.30685277$ تقريبًا.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

خطوة 8.2.4

اضرب $- 1$ في $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

خطوة 8.2.5

اطرح $0.30685277$ من $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

خطوة 8.2.6

اقسِم $0.69314722$ على $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

خطوة 8.2.7

الإجابة النهائية هي $0.37522914$ .

$0.37522914$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1.35914085$ هو $0.37522914$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, e)$ .

تزايد خلال $(0, e)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, e), (e, \infty)$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(e, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.7182817$ في العبارة.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $3.7182817$ إلى القوة $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

خطوة 10.2.2

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

خطوة 10.2.3

لوغاريتم $3.7182817$ للأساس $2.71828182$ يساوي $1.31326165$ تقريبًا.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

خطوة 10.2.4

اضرب $- 1$ في $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

خطوة 10.2.5

اطرح $1.31326165$ من $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

خطوة 10.2.6

اقسِم $- 0.31326165$ على $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

خطوة 10.2.7

الإجابة النهائية هي $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 3.7182817$ هو $- 0.02265805$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(e, \infty)$ .

تناقص خلال $(e, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 11

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, e)$

تناقص خلال: $(e, \infty)$

خطوة 12