حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 5]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$e^{2 x} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{2 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

خطوة 1.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{2 x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{5} e^{2 x} d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{5} e^{2 x} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{5} e^{2 x} d x$

خطوة 3.3

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5$

خطوة 3.3.5

اضرب $2$ في $5$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3.4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 3.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{10} e^{u} d u$

خطوة 3.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{10}$

خطوة 3.7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $10$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.7.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1)$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} e^{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 3.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{10}$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 3.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.8.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e^{10}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 4