حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

خطوة 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

خطوة 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

خطوة 2.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - 27 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

خطوة 2.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 27 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

خطوة 2.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 90$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 90$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 90$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

خطوة 2.5.1.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

خطوة 2.5.1.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

خطوة 2.5.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

خطوة 2.5.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

خطوة 2.5.4

اقسِم كل حد في $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ على $3 (y + 3) (y - 3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ على $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 2.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 90$

خطوة 4.2.2

اطرح $90$ من $0$ .

$f (0) = - 90$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 90$ .

$- 90$

خطوة 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

خطوة 6