حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

خطوة 1

جذر متوسط المربع للدالة $f$ على مدى الفترة المحددة $[a, b]$ هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي (المتوسط) لمربعات القيم الأصلية.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

خطوة 2

عوّض بالقيم الفعلية في صيغة جذر متوسط المربع لدالة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

خطوة 3.6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

خطوة 3.6.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

خطوة 3.6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

خطوة 3.6.5

اضرب $2$ في $4$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 3.6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

خطوة 3.6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 3.7

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 3.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

خطوة 3.9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

خطوة 3.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

احسِب قيمة $x$ في $4$ وفي $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

خطوة 3.10.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $8$ وفي $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

خطوة 3.10.3

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1.1

احسِب قيمة $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

خطوة 3.11.1.1.2

احسِب قيمة $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

خطوة 3.11.1.1.3

اضرب $- 1$ في $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

خطوة 3.11.1.2

اطرح $0.75680249$ من $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

خطوة 3.11.1.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.3.1

اضرب $0.23255575$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

خطوة 3.11.1.3.2

اجمع $- 0.23255575$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

خطوة 3.11.1.4

اقسِم $- 0.23255575$ على $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

خطوة 3.11.2

اطرح $0.11627787$ من $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

خطوة 3.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

خطوة 3.11.4

اقسِم $5.88372212$ على $2$ .

$2.94186106$

خطوة 4

بسّط قاعدة جذر متوسط المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{4 + 2}$ و $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

خطوة 4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $4$ و $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

خطوة 4.2.2

اقسِم $2.94186106$ على $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

الصيغة العشرية:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$