حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

خطوة 1

خُذ مشتق $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ بالنسبة إلى $x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

خطوة 9

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{7}$ بالصيغة $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

خطوة 10

اجمع $18$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

خطوة 11

اجمع $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

أخرِج العامل $2$ من $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

أعِد كتابة $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد كتابة $x^{7}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أخرِج عامل $x^{6}$ .

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.1.2

أعِد كتابة $x^{6}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

اضرب $x^{3}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.5.2

أضف $6$ و $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 18

اضرب $x^{\frac{7}{2}}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

خطوة 18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

خطوة 18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

خطوة 18.4

أضف $- 1$ و $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

خطوة 18.5

اقسِم $6$ على $2$ .

$9 x^{3}$