حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x e^{- x}$ من $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x e^{- x}$ من $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $x e^{- x}$ من $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $x e^{- x}$ من $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 2.5.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.5.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $- x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $- x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 2 = 0$

خطوة 2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 2.6.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 2$ .

$0, 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.4

بسّط.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 e$ بالصيغة $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

خطوة 5.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

خطوة 5.2.2

اطرح $2 e$ من $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3 e$ .

$- 3 e$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 3 e$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 \frac{1}{e}$ بالصيغة $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

خطوة 6.2.1.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

خطوة 6.2.1.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{1}{e}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 2)$ .

تزايد خلال $(0, 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.5

اجمع $- 9$ و $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

خطوة 7.2.1.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

خطوة 7.2.1.10

اجمع $6$ و $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

خطوة 7.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

أضف $- 9$ و $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

خطوة 7.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3$ هو $- \frac{3}{e^{3}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 2)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

خطوة 9