حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x - 24$ ; $[2, 6]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$8 x - 24 = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $24$ إلى كلا المتعادلين.

$8 x = 24$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $8 x = 24$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $8 x = 24$ على $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{24}{8}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $24$ على $8$ .

$x = 3$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(3, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 8 x - 24 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{3} 0 - (8 x - 24) d x$

خطوة 3.2

اطرح $8 x - 24$ من $0$ .

$\int_{2}^{3} - (8 x - 24) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{2}^{3} - (8 x) + 24 d x$

خطوة 3.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- 8 x - - 24$

خطوة 3.4.2

اضرب $- 1$ في $- 24$ .

$- 8 x + 24$

$\int_{2}^{3} - 8 x + 24 d x$

خطوة 3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} - 8 x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 8$ خارج التكامل.

$- 8 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

خطوة 3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

خطوة 3.9

طبّق قاعدة الثابت.

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 24 x]_{2}^{3}$

خطوة 3.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $3$ وفي $2$ .

$- 8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 24 x]_{2}^{3}$

خطوة 3.10.2

احسِب قيمة $24 x$ في $3$ وفي $2$ .

$- 8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.5

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 8 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.8.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 8 \frac{9 - 4}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.8.2

اطرح $4$ من $9$ .

$- 8 (\frac{5}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.9

اجمع $- 8$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot 5}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.10

اضرب $- 8$ في $5$ .

$\frac{- 40}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 40$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $- 40$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2 (1)} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 20}{1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.11.2.4

اقسِم $- 20$ على $1$ .

$- 20 + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.12

اضرب $24$ في $3$ .

$- 20 + 72 - 24 \cdot 2$

خطوة 3.10.3.13

اضرب $- 24$ في $2$ .

$- 20 + 72 - 48$

خطوة 3.10.3.14

اطرح $48$ من $72$ .

$- 20 + 24$

خطوة 3.10.3.15

أضف $- 20$ و $24$ .

$4$

خطوة 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 8 x - 24 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 - (0) d x$

خطوة 5.2

اطرح $0$ من $8 x - 24$ .

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{3}^{6} 8 x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

خطوة 5.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

خطوة 5.7

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 24 x]_{3}^{6}$

خطوة 5.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $6$ وفي $3$ .

$8 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 x]_{3}^{6}$

خطوة 5.8.2

احسِب قيمة $- 24 x$ في $6$ وفي $3$ .

$8 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$8 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.2.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$8 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$8 (18 - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.4

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.5

اجمع $18$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.7.1

اضرب $18$ في $2$ .

$8 \frac{36 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.7.2

اطرح $9$ من $36$ .

$8 (\frac{27}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.8

اجمع $8$ و $\frac{27}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 27}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.9

اضرب $8$ في $27$ .

$\frac{216}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.10.1

أخرِج العامل $2$ من $216$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2 (1)} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 108}{2 \cdot 1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{108}{1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.10.2.4

اقسِم $108$ على $1$ .

$108 - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.11

اضرب $- 24$ في $6$ .

$108 - 144 + 24 \cdot 3$

خطوة 5.8.3.12

اضرب $24$ في $3$ .

$108 - 144 + 72$

خطوة 5.8.3.13

أضف $- 144$ و $72$ .

$108 - 72$

خطوة 5.8.3.14

اطرح $72$ من $108$ .

$36$

خطوة 6

أضف $4$ و $36$ .

$40$

خطوة 7