حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

خطوة 1

اكتب $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ في صورة دالة.

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 5

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $36$ خارج التكامل.

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{1} = - 4 x$ . إذن $d u_{1} = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{1} = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $36$ .

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 36$ .

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 11.2.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 12

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 13

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

خطوة 14

لنفترض أن $u_{2} = - 2 x$ . إذن $d u_{2} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u_{2} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 14.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 14.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 15.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 16

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

خطوة 17

اضرب $- 1$ في $24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 18

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 19.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 19.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 19.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 19.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 19.2.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

خطوة 20

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

خطوة 21

طبّق قاعدة الثابت.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

خطوة 22

بسّط.

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

خطوة 23

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 4 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

خطوة 23.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

خطوة 24

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ .

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$