حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 8

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int \frac{6}{x^{2}} d x$

خطوة 11

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 12.1.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 12.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 12.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 12.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{- 2} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 (- x^{- 1} + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط.

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} - 6 (- x^{- 1}) + C$

خطوة 14.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$