حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

خطوة 4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

خطوة 5

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

خطوة 5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انقُل $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

خطوة 5.1.3

اضرب $3$ في $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

خطوة 5.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

خطوة 5.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

خطوة 5.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

خطوة 5.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

خطوة 5.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{2}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

خطوة 5.5.2.1.2

اضرب $4$ في $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

خطوة 5.5.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $225$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $5$ من $225$ .

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

خطوة 5.5.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

خطوة 5.5.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

خطوة 5.5.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

خطوة 5.5.2.2

اطرح $\frac{45}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

خطوة 5.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x + \frac{3}{2}$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x + \frac{3}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{3}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

خطوة 6.1.4

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{3}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

خطوة 7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $5$ من $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 u^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $5$ من $- \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $\frac{9}{4}$ بالصيغة ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

خطوة 8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = u$ و $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 9

لكتابة $u$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $u$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 10.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 11

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 12

لكتابة $u$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $u$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

خطوة 13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

خطوة 14

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

خطوة 15

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $5$ و $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

خطوة 15.2

اضرب $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ في $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

خطوة 15.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

خطوة 16

أعِد كتابة $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

خطوة 16.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

خطوة 16.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

خطوة 17

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

خطوة 17.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 17.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 17.4.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 18

وسّع $(10 u + 15) (2 u - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

خطوة 18.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.2

اضرب $u$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.2.1

انقُل $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.2.2

اضرب $u$ في $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.3

اضرب $10$ في $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.4

اضرب $- 3$ في $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.5

اضرب $2$ في $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

خطوة 19.1.6

اضرب $15$ في $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

خطوة 19.2

أضف $- 30 u$ و $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

خطوة 19.3

أضف $20 u^{2}$ و $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

خطوة 20

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

خطوة 21

لنفترض أن $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ موجبة.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.4

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.5

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.6

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.8

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.10

اضرب $9$ في $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.2

أخرِج العامل $45$ من $45 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.3

أخرِج العامل $45$ من $- 45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.4

أخرِج العامل $45$ من $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.6

أعِد كتابة $45 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.6.1

أخرِج العامل $9$ من $45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.6.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.6.3

انقُل $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.6.4

أعِد كتابة $3^{2} \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 22.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اجمع $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ و $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.3

اجمع $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.5

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

خطوة 22.2.8

اجمع $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ و $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

خطوة 23

بما أن $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

اضرب $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 24.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 25

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 26

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 27

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 27.2

بسّط كل حد.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

خطوة 28

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 29

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 30

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 31

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 32

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (t)$ و $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

خطوة 33

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

خطوة 34

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 35

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 36

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 36.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 36.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

خطوة 37

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

خطوة 38

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 38.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 38.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 38.3

أعِد ترتيب $\sec (t)$ و $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 39

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

خطوة 40

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 41

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 42

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 43

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

خطوة 44

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

خطوة 45

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 46

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 47

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 48

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 49

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 49.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 49.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 50

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (t) d t$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

خطوة 51

اضرب $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ في $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

خطوة 52

بسّط.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

خطوة 53

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 53.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

خطوة 53.2

أضف $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ و $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

خطوة 53.3

اضرب $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ في $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 53.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

خطوة 54

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 54.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 54.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 55.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 55.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 55.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 55.4.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 55.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 55.6.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 55.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 55.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 55.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

خطوة 56

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

خطوة 57

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$