حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3^{x + 1} d x$

خطوة 1

اكتب $3^{x + 1} d x$ في صورة دالة.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

خطوة 4

بما أن $d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $d$ خارج التكامل.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = 3^{x + 1}$ .

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{\ln (3)}$ و $3^{x + 1}$ .

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{\ln (3)}$ و $3^{x + 1}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{\ln (3)}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{\ln (3)}$ خارج التكامل.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 8.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $3^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ بالصيغة $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

لكتابة $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\ln^{2} (3)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ في $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.2.2

ارفع $\ln (3)$ إلى القوة $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.2.3

ارفع $\ln (3)$ إلى القوة $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

خطوة 10.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

خطوة 10.2.4

اجمع $d$ و $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ .

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 3^{x + 1} d x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$