حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 4

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ بالصيغة $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int u d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 8.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{2} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$u^{2} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln^{2} (x) + C$