حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{2 x + x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{2 x + x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{2 x + x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

خطوة 4

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب $2 x$ و $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x$

خطوة 4.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

خطوة 4.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 4.5.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 4.5.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 4.5.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 4.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

$\int \sqrt{{(x + 1)}^{2} - 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 1} d u$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 7.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 7.2.2

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

خطوة 7.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

خطوة 7.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

خطوة 8

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 9

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 13

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 14

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 15

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (t)$ و $d v = \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 16

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 17

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

خطوة 18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

خطوة 19

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أضف $1$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

خطوة 19.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 20

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 21

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 21.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 21.3

أعِد ترتيب $\sec (t)$ و $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 22

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

خطوة 23

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

خطوة 24

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

خطوة 25

أضف $1$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

خطوة 26

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 27

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

خطوة 28

أضف $2$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

خطوة 29

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 30

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 31

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 32

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 32.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 33

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (t) d t$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

خطوة 34

اضرب $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ في $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

خطوة 35

بسّط.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 36

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 36.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (u)$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (u)) \tan (arcsec (u)) + \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |)) + C$

خطوة 36.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$

خطوة 37

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{2 x + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$