حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 5

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 6.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 6.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 6.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

خطوة 8

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

خطوة 9

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.2.2

اجمع $12$ و $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

خطوة 11.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.2.4

أخرِج العامل $3$ من $24 x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

خطوة 11.2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

خطوة 11.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

خطوة 11.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

خطوة 11.2.5.4

اقسِم $8 x^{\frac{3}{2}}$ على $1$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$